《“悬绳摆”问题研究》一文以其数学逻辑的“晦涩难懂”及其物理思想的“简明扼要”形成鲜明对比，为扩大受众面，作者以叙事的方式陈述文章的梗概:

　　在竖直平面内，均匀、柔软且不可伸长的细绳索,如果悬点固定,另一端用外力拖到某一位置后从静止释放，这样的装置就构成悬绳摆(如图 1 )。

　　悬绳摆的初始线型可看作某一悬链线的一部分，这里只讨论一条悬链线从最低点剪断后构成悬绳摆的情形，悬绳摆的绳线是柔软的变形体，相邻质点间除张力外无其它相互作用，质量沿线长均匀分布，实验表明悬绳摆的摆动具有左右对称性，在忽略空气阻力的情况下，左右两侧对应位置悬绳的线型相同，对称轴在竖直方向，中间线型承前启后连续变化，但线长不变,在自然界动物尾巴的摆动就是悬绳摆问题的雏形。

　　《“悬绳摆”问题研究》揭示了悬链线与旋轮线（即最速降线）之间的内在联系，进而得出三个结论：

　　②系统质心的运动构成最速降线（即摆线），这是悬绳摆问题的灵魂，质心的回复力只由质心重力沿旋轮线（轨道）切线方向的分力提供，属自由振动，满足机械能守恒条件；悬绳中点的振幅远小于系统质心的振幅，说明质心“上蹿下跳”，质心的运动比悬绳中点的运动更加积极！

　　③悬绳末端（即自由端）是悬绳摆上最活跃的质点，它的运动轨迹是以 y 轴为对称的弧形椭圆轨道，它的最大速度超过悬绳中点最大速度的4倍；悬绳末端质点的回复力由末端质点自身重力与相邻前质点间的张力 T 共同提供，属受迫振动，且受迫振动的频率等于系统质心运动的固有频率。沿着摆线方向相邻质点间的机械能发生相互“传递”，除悬点外，对单个质点而言机械能并不守恒。

　　整个悬绳摆的运动可以看成是由系统质心的自由振动带动其它质点跟着做受迫振动，摆线上的各个质点在摆动过程中虽然振幅不同，但振动的步调与系统质心的运动总保持一致，可以用一个格式化的简谐振动方程 Si=i,max sinωt进行统一描述,其中下标i是不同质点的编号序列！且悬绳的摆动具有“驻波特性”，悬点即为“波节”，端点即为“波腹”，任意时刻的悬绳线型构成“同相面”，反映同一时刻不同质点离开各自平衡位置的路程分布情况（线 长不变），能用照相机来拍摄，这是波动图像的特征(如图 2)。

　　通过对悬绳摆问题的深入研究，使人们对“物理学的尽头是数学”有了更加直观的体悟，也让我们惊叹于大自然的对立统一与和谐，就连单个质点（即单摆）的大角度摆动都无法精确求解，无穷质点组成的悬绳摆的大角度摆动居然“步调一致”地回归简谐振动，这是一种怎样的杰作，只有大自然自己才能心领神会，也许动物尾巴的摆动是以最小的能量注入保护臀部最大面积的免遭蚊虫叮咬，这是“造物主”的鬼斧神工，也是科学与艺术结合的典范！

　　①志趣是一种游离于生存与发展之间的能级跃迁，只有上秉天性，下接地气，以时间换空间，才能把困顿的事业推向成功的彼岸。

　　②基础科学的发展渐趋完备，短期内很难取得成就，《悬绳摆问题研究》是我自主选题，长期坚持，缓慢推进，并历时30多年才获得突破，该课题能顺利通关纯属偶然，在等待文章发表的日子里，我连走路都很小心，如果自己突然“挂了”，人类对“悬绳摆”问题的研究有可能就此止步！科学上很多发现只与特定的人相适配，“苹果”之于牛顿，犹如‌“菩提树”之于佛陀，破局者不经意间的“灵光乍现”，即可以捕捉到潜伏在事物背后的“真相”，并推演出“惊世骇俗”的结论！

　　③想进一步了解《“悬绳摆”问题研究 》一文的全貌，读者可查阅国际期刊《Mathematical Computation》 (中英文版)2025年第一期1-14页[其网址为:，文章也可在维普网中搜索下载！

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